EXTRA – la quarta dimensione

Un regalo a tutti gli amici letterati e scettici, che passano il tempo a chiedermi: “ma questa quarta dimensione, dov’è? perché studiare una cosa che non esiste? è il tempo? e se è il tempo, la quinta?”. Ora vi farò vedere questa famosa quarta dimensione, che scoprirete essere presente ogni giorno nella vostra vita, senza che ve ne siate mai accorti. Tenetevi pronti.

Ora, breve premessa. Per parlare di dimensione, è necessario avere ben chiaro il concetto di indipendenza lineare. Spieghiamo questo, e poi tutto sarà più semplice.

Vogliamo studiare delle cose che possiamo combinare tra loro (in un senso che spiegheremo meglio dopo): per esempio dei superalcolici. Prendiamo un certo numero di superalcolici (per esempio, vodka, gin, rum e kahlua), e apprestiamoci a preparare dei cocktail per i nostri amici. Cosa faremo: prenderemo certe quantità di alcuni di essi (diciamo 70ml, 100ml, o 200ml), e mescoliamoli assieme (l’aggiunta di altre bibite non alcoliche, fortemente consigliato dalla maggioranza delle ricette, non è un problema per il nostro esempio). Dunque, un cocktail è una certa miscela di certe quantità di superalcolici. In realtà potevamo anche miscelare cocktail diversi per farne uno nuovo, invece di partire direttamente dai superalcolici. Ora, la domanda che vi pongo è: miscelando in questo modo soltanto (per esempio) rum e vodka, ci potrà mai venire fuori un bicchiere di gin? No, mi direte voi. Bravi. Non si può ottenere gin mischiando rum e vodka.

Fuori metafora: abbiamo dei “punti” di un ipotetico spazio “dei cocktail”. Prendiamo degli elementi di questo spazio (i superalcolici), e li possiamo moltiplicare per un numero (prenderne una certa quantità, 70ml 100ml o 200ml), e sommare tra loro (mischiarli assieme).  Una tale miscela si chiama combinazione lineare (o cocktail). Ora ci chiediamo: è possibile ottenere un certo punto (il gin), come combinazione lineare di altri due punti (come miscela di rum e vodka)? Se la risposta è no (non si può fare il gin partendo da rum e vodka), allora si dice che il primo punto (il gin) è linearmente indipendente (non si può ottenere mischiando) dagli altri due (rum e vodka).

Una combinazione lineare di vodka, kahlua e crema di latte. Consigliato dal Drugo.

Una combinazione lineare di vodka, kahlua e crema di latte. Consigliato dal Drugo.

Domanda: quanti vettori linearmente indipendenti tra loro si possono trovare in un dato spazio? Per esempio, rum gin vodka e kahlua sono linearmente indipendenti nello spazio dei cocktail, che quindi ne ha almeno 4. Chiamiamo dimensione di uno spazio questo numero. Quindi lo spazio dei cocktail ha almeno dimensione 4. Una linea invece ha dimensione uno, un piano due, lo spazio 3. Fate la prova, è facile.

Dunque, la quarta dimensione esiste, è una cosa normalissima che fa parte della nostra vita di tutti i giorni, e per lo più, si può bere.

p.s. per i matematici: lo so che non si possono prendere quantità negative di un superalcolico, ma converrete che l’esempio funziona. Tra l’altro vorrei porvi il quesito: lo spazio dei cocktail ha dimensione infinita? (nel caso, è separabile?)

p.s. per i fisici teorici: lo so che qualcuno sostiene che probabilmente l’universo è 7/11/12/13/42-dimensionale. Ammetterete che il valore didattico è uguale se non maggiore, nel caso. Piuttosto, cos’è sta cosa che l’universo si espande accelerando?

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One response to “EXTRA – la quarta dimensione”

  1. ot says :

    Infatti i cocktail sono un cono. Se proprio vogliamo esagerare, sono un sottoinsieme di un proiettivo, come tutte le ricette: se scali le quantità il gusto non cambia.

    Ma sei sicuro che mischiando opportunamente rum e gin non si ottenga vodka? Ad esempio, benzina, succo d’arancia congelato e napalm non sono linearmente indipendenti. Fight club docet.

    Anyway, nerd content counter = -2147483648

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